1. Pengertian
Invers Fungsi
Telah kita fungsi dan penggunaannya.
Suatu fungsi atau pemetaan pasti melibatkan dua himpunan. Misalkan f suatu
fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B sehingga setiap
elemen a ϵ A mempunyai peta f (a) = b di B.
Apabila pemetaan dibalik, dapatkah ditentukan fungsi g yang
memetakan B ke A sehingga diperoleh peta?
Untuk
mengetahuinya, sebelumnya simaklah contoh dalam kehidupan sehari–hari berikut
ini.
Keluarga
Pak Rahmat memiliki dua anak yang bernama Ani dan Bela. Bila Ana adalah anak
pertama dan Bela adalah anak kedua, maka hubungan kekerabatan antara keduanya
dapat dikatakan:
Ani
Kakak Bela
Apabila hubungan
kekerabatan di atas dibalik, apakah mempunyai makna yang sama? Tentu saja
hubungan tersebut dapat dikatakan:
Bela
Adik Ana
Kedua hubungan
kekerabatan tersebut dapat dinyatakan dalam diagram panah, yaitu:
Hubungan
kebalikan tersebut dinamakan invers. Dari hubungan yang telah dijelaskan di
atas, dapat digunakan untuk menentukan invers suatu fungsi. Perhatikan diagram
berikut:
Jika fungsi f:
A → B maka inversnya adalah g: B
→ A.
Pada gambar di
atas fungsi f dan g dikatakan saling invers. Invers fungsi
f berlambang f -1 (dibaca f invers)
dan invers fungsi g berlambang g -1 (dibaca g invers). Jadi, g = f -1 dan
f = g -1.
Invers suatu fungsi dapat berupa fungsi (disebut
fungsi invers) atau hanya berupa relasi biasa.
Definisi
Suatu fungsi f: A → B mempunyai fungsi invers f
-1: B → A jika f merupakan fungsi bijektif atau himpunan A dan B
berkorespondensi satu-satu.
Contoh:
Diketahui
himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}.
Fungsi
f : A → B ditentukan dengan pasangan berurutan f =
{(a, 1), (b, 2), (c, 2)}
a.
Tentukan invers f adalah f –1 yang
dinyatakan dalam pasangan berurutan.
b.
Tunjukkan f dan g dengan diagram panah, kemudian selidiki apakah invers f
yaitu g merupakan fungsi?
Jawab:
a.
Invers f adalah yang dinyatakan dengan pasangan berurutan, yaitu g =
{(1, a), (2, b), (2, c)}
b. Diagram panah f dan
g adalah:
Dari
diagram di atas, terlihat bahwa f : A → B adalah fungsi. Sedangkan,
invers fungsi f,
yaitu g : B → A adalah bukan
fungsi karena pada himpunan B terdapat anggota yang mempunyai kawan
lebih dari satu di himpunan A.
2. Menentukan
Invers Fungsi
Suatu
fungsi f yang memetakan x ke y dinyatakan dengan f :
x→y atau ditulis y: f (x). Invers fungsi f
tersebut yang memetakan y ke x dinyatakan dengan f –1:
y → x atau ditulis x = f –1 (y).
Maka dapat dinyatakan bahwa:
Invers dari fungsi y = f (x)
adalah x = f –1 (y)
Bagaimanakah
cara menentukan fungsi invers? Untuk mengetahuinya coba Anda pelajari contoh
berikut ini.
Contoh 1:
a.
Diketahui
fungsi f : R→R ditentukan oleh f
(x) = 2x + 5.
Tentukan rumus fungsi inversnya!
Jawab:
f (x) = y
2x + 5 = y
2x = y – 5
x = (y – 5)/2
f –1 (y) = (y – 5)/2
f –1 (x) =(x – 5)/2
Jadi, fungsi inversnya
adalah f –1 (x) = (x – 5)/2
Dari contoh di
atas, dapat disimpulkan mengenai langkah– langkah menentukan fungsi invers,
yaitu:
Catatan
Menentukan fungsi invers:
· · Ubah persamaan y
= f(x) ke dalam bentuk x = f(y).
· ·
Gantikan x dengan f –1 (y)
sehingga f –1 (y) = f(y).
· Gantikan y dnegan x sehingga diperolah
rumus fungsi invers f –1 (x).
· Jika f(x) = (ax + b) / (cx + d), x ≠ – d/c
maka f-1(x) = (– dx + b) / (cx – a), x ≠ a/c
Langkah–langkah menentukan fungsi invers:
a. Misalkan y = f (x), kemudian
diubah menjadi bentuk x = g(y)
b. Gantilah x sebagai f –1 (y)
sehingga f –1 (y) = g(y)
c. Ubahlah huruf y dengan huruf x sehingga
diperoleh fungsi
Sumber : Modul Matematika :
Komposisi Fungsi dan Inver Fungsi Invers, Fitri Suci Maharsih.
Silakan simak video menentukan invers fungsi di bawah ini :
mohon simak video berikutnya :
