Mari Berlatih Menyelesaikan Soal Trigonometri

Read More

Mari Berlatih Menyelesaikan Soal Komposisi Fungsi

Read More

Mari Belajar Invers Fungsi

                     

1.      Pengertian Invers Fungsi

Telah kita fungsi dan penggunaannya. Suatu fungsi atau pemetaan pasti melibatkan dua himpunan. Misalkan f suatu fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B sehingga setiap elemen a ϵ A mempunyai peta f (a) = b di B.

Apabila pemetaan dibalik, dapatkah ditentukan fungsi g yang memetakan B ke A sehingga diperoleh peta?

Untuk mengetahuinya, sebelumnya simaklah contoh dalam kehidupan sehari–hari berikut ini.

Keluarga Pak Rahmat memiliki dua anak yang bernama Ani dan Bela. Bila Ana adalah anak pertama dan Bela adalah anak kedua, maka hubungan kekerabatan antara keduanya dapat dikatakan:

Ani Kakak Bela

Apabila hubungan kekerabatan di atas dibalik, apakah mempunyai makna yang sama? Tentu saja hubungan tersebut dapat dikatakan:

Bela Adik Ana

Kedua hubungan kekerabatan tersebut dapat dinyatakan dalam diagram panah, yaitu:

Hubungan kebalikan tersebut dinamakan invers. Dari hubungan yang telah dijelaskan di atas, dapat digunakan untuk menentukan invers suatu fungsi. Perhatikan diagram berikut:

Jika fungsi f: A → B maka inversnya adalah g: B → A.

 

Pada gambar di atas fungsi f dan g dikatakan saling invers. Invers fungsi f berlambang f ^-1 (dibaca f invers) dan invers fungsi g berlambang g ^-1 (dibaca g invers). Jadi, g = f ^-1  dan f = g ^-1.

Invers suatu fungsi dapat berupa fungsi (disebut fungsi invers) atau hanya berupa relasi biasa.

Definisi

Suatu fungsi f: A → B mempunyai fungsi invers f ^-1: B → A jika f merupakan fungsi bijektif atau himpunan A dan B berkorespondensi satu-satu.

Contoh:

Diketahui himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}.

Fungsi f : A → B ditentukan dengan pasangan berurutan f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)}

a. Tentukan invers f adalah f ^–1 yang dinyatakan dalam pasangan berurutan.

b. Tunjukkan f dan g dengan diagram panah, kemudian selidiki apakah invers f yaitu g merupakan fungsi?

Jawab:

a. Invers f adalah yang dinyatakan dengan pasangan berurutan, yaitu g = {(1, a), (2, b), (2, c)}

b. Diagram panah f dan g adalah:

Dari diagram di atas, terlihat bahwa f : A → B adalah fungsi. Sedangkan, invers fungsi f,

yaitu g : B → A adalah bukan fungsi karena pada himpunan B terdapat anggota yang mempunyai kawan lebih dari satu di himpunan A.

2.      Menentukan Invers Fungsi

Suatu fungsi f yang memetakan x ke y dinyatakan dengan f : x→y atau ditulis y: f (x). Invers fungsi f tersebut yang memetakan y ke x dinyatakan dengan f ^–1: y → x atau ditulis x = f ^–1 (y). Maka dapat dinyatakan bahwa:

Invers dari fungsi y = f (x) adalah x = f ^–1 (y)

 

Bagaimanakah cara menentukan fungsi invers? Untuk mengetahuinya coba Anda pelajari contoh berikut ini.

Contoh 1:

a.       Diketahui fungsi f : R→R ditentukan oleh f (x) = 2x + 5.

Tentukan rumus fungsi inversnya!

Jawab:

f (x) = y

2x + 5 = y

2x = y – 5

x = (y – 5)/2

f ^–1 (y) = (y – 5)/2

f ^–1 (x) =(x – 5)/2

Jadi, fungsi inversnya adalah f ^–1 (x) = (x – 5)/2

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan mengenai langkah– langkah menentukan fungsi invers, yaitu:

Catatan

Menentukan fungsi invers:

·       · Ubah persamaan y = f(x) ke dalam bentuk x = f(y).

·       ·  Gantikan x dengan f ^–1 (y) sehingga f ^–1 (y) = f(y).

·  Gantikan y dnegan x sehingga diperolah rumus fungsi invers f ^–1 (x).

· Jika f(x) = (ax + b) / (cx + d), x ≠ – d/c

   maka f-1(x) = (– dx + b) / (cx – a), x ≠ a/c

Langkah–langkah menentukan fungsi invers:

a. Misalkan y = f (x), kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y)

b. Gantilah x sebagai f ^–1 (y) sehingga f ^–1 (y) = g(y)

c. Ubahlah huruf y dengan huruf x sehingga diperoleh fungsi

Sumber : Modul Matematika :  Komposisi Fungsi dan Inver Fungsi Invers, Fitri Suci Maharsih.

Silakan simak video menentukan invers fungsi di bawah ini :

mohon simak video berikutnya :

Read More

Mari Belajar Komposisi Fungsi

KOMPOSISI FUNGSI

1     1. Pengertian Komposisi Fungsi

Suatu fungsi dapat dikombinasikan atau digabungkan dengan fungsi lain, dengan syarat tertentu, sehingga menghasilkan fungsi baru. Seperti apakah fungsi baru tersebut? Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi

berikut ini.

Untuk memetakan sebuah bilangan, dilakukan dua proses dengan menggunakan 2 mesin, seperti pada gambar berikut ini.

Mesin I melakukan proses ”kalikan dengan 5” dan mesin II melakukan proses ”tambahkan dengan 5”. Jika bilangan 2 dimasukkan dalam mesin I diolah dan diubah menjadi 2 x 5 = 10, lalu bilangan diolah oleh mesin II dan menghasilkan 10 + 5 = 15. Jadi 2 dipetakan menjadi 15 oleh kedua mesin tersebut.

Apabila dimasukkan bilangan sembarang x, maka diperoleh hasil:

Mesin:  x → 5x → 5x + 5

    ^{mesin I     mesinII}

Bagaimana hasilnya bila kedua mesin tersebut digabungkan?

Perhatikan gambar berikut ini.

Mesin gabungan dari mesin I dan II ini melakukan proses ”kalikan dengan 5 kemudian tambahkan dengan 5”. Jika bilangan 2 dimasukkan dalam mesin ini, diolah menjadi (2 x 5) + 5 = 15. Ternyata hasilnya sama dengan keluaran dari mesin I dan mesin II.

Apabila dimasukkan bilangan sembarang x, maka diperoleh hasil:

Mesin:       x  →  5x + 5

       ^{mesin gabungan}

Analog dengan ilustrasi di atas, komposisi fungsi g dan fungsi f dapat didefinisikan sebagai berikut.

Jika f : A → B dan fungsi g : B → C, maka fungsi F yang memetakan A → C melalui hubungan dua fungsi f dan g, dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi.

Secara matematis ditulis: F : A→ C atau F : x  g (f (x)) dengan rumus F (x) = g (f (x)).

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Fungsi f (x) = g (x) adalah komposisi fungsi f dan g, sehingga f (x) disebut fungsi komposisi.

 Bila komposisi disimbolkan oleh ”o”, maka fungsi komposisi gof adalah fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g sehingga bentuk g (f(x)) dapat ditulis sebagai (gof)(x), yaitu:

                                             F : x → (g o f) (x) = g (f (x))

Agar Anda dapat lebih memahami fungsi komposisi, maka simaklah contoh berikut ini.

Terdapat fungsi f dan g yang disajikan dalam diagram panah.

Range fungsi f, R (f) = B ϵ C. Pemadanan F dari A ke D yang didefinisikan dengan aturan F (x) = (gof) (x) merupakan fungsi karena memenuhi syarat-syarat fungsi, yaitu setiap anggota domain (daerah asal) dipasangkan dan pasangannya tunggal.

(gof) (1) = g (f (1)) = g (a) = 4 (gof) (2) = g (f (2)) = g (b) = 5 (gof) (3) = g (f (2)) = g (b) = 5 Diagram fungsinya menjadi:

dari dua fungsi f : A → B dan g : C → D dapat digabungkan menjadi fungsi baru (gof) : A → D, hanya jika B ϵ C.

Contoh lain:

Fungsi f : R→R ditentukan dengan f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 2x. Tentukan (g o f) dan (f o g)!

Jawab:

(g o f) = g(f(x)) = g(3x + 2) = 2(3x + 2) = 6x + 4

(f o g) = f(g(x)) = f(2x) = 3(2x) + 2 = 6x + 2

2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi 

Misalkan ditentukan aturan fungsi f, fungsi g dan fungsi h dari R→R.

a.    Operasi komposisi pada fungsi umumnya tidak komutatif artinya (f o g) ≠ (g o f).

b.    Pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu (f o g) o h = f o (g o h).

c.    Missal I adalah fungsi I(x) = x dan memenuhi f o I = I o f = f maka I adalah fungsi identitas.

Sumber : Modul Matematika :  Komposisi Fungsi dan Inver Fungsi Invers, Fitri Suci Maharsih.

Agar semakin paham silakan simak video di bawah ini :

kemudian simak juga video lanjutannya di bawah ini :

Read More