Mari Belajar Komposisi Fungsi

KOMPOSISI FUNGSI

1     1. Pengertian Komposisi Fungsi

Suatu fungsi dapat dikombinasikan atau digabungkan dengan fungsi lain, dengan syarat tertentu, sehingga menghasilkan fungsi baru. Seperti apakah fungsi baru tersebut? Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi

berikut ini.

Untuk memetakan sebuah bilangan, dilakukan dua proses dengan menggunakan 2 mesin, seperti pada gambar berikut ini.

Mesin I melakukan proses ”kalikan dengan 5” dan mesin II melakukan proses ”tambahkan dengan 5”. Jika bilangan 2 dimasukkan dalam mesin I diolah dan diubah menjadi 2 x 5 = 10, lalu bilangan diolah oleh mesin II dan menghasilkan 10 + 5 = 15. Jadi 2 dipetakan menjadi 15 oleh kedua mesin tersebut.

Apabila dimasukkan bilangan sembarang x, maka diperoleh hasil:

Mesin:  x → 5x → 5x + 5

    ^{mesin I     mesinII}

Bagaimana hasilnya bila kedua mesin tersebut digabungkan?

Perhatikan gambar berikut ini.

Mesin gabungan dari mesin I dan II ini melakukan proses ”kalikan dengan 5 kemudian tambahkan dengan 5”. Jika bilangan 2 dimasukkan dalam mesin ini, diolah menjadi (2 x 5) + 5 = 15. Ternyata hasilnya sama dengan keluaran dari mesin I dan mesin II.

Apabila dimasukkan bilangan sembarang x, maka diperoleh hasil:

Mesin:       x  →  5x + 5

       ^{mesin gabungan}

Analog dengan ilustrasi di atas, komposisi fungsi g dan fungsi f dapat didefinisikan sebagai berikut.

Jika f : A → B dan fungsi g : B → C, maka fungsi F yang memetakan A → C melalui hubungan dua fungsi f dan g, dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi.

Secara matematis ditulis: F : A→ C atau F : x  g (f (x)) dengan rumus F (x) = g (f (x)).

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Fungsi f (x) = g (x) adalah komposisi fungsi f dan g, sehingga f (x) disebut fungsi komposisi.

 Bila komposisi disimbolkan oleh ”o”, maka fungsi komposisi gof adalah fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g sehingga bentuk g (f(x)) dapat ditulis sebagai (gof)(x), yaitu:

                                             F : x → (g o f) (x) = g (f (x))

Agar Anda dapat lebih memahami fungsi komposisi, maka simaklah contoh berikut ini.

Terdapat fungsi f dan g yang disajikan dalam diagram panah.

Range fungsi f, R (f) = B ϵ C. Pemadanan F dari A ke D yang didefinisikan dengan aturan F (x) = (gof) (x) merupakan fungsi karena memenuhi syarat-syarat fungsi, yaitu setiap anggota domain (daerah asal) dipasangkan dan pasangannya tunggal.

(gof) (1) = g (f (1)) = g (a) = 4 (gof) (2) = g (f (2)) = g (b) = 5 (gof) (3) = g (f (2)) = g (b) = 5 Diagram fungsinya menjadi:

dari dua fungsi f : A → B dan g : C → D dapat digabungkan menjadi fungsi baru (gof) : A → D, hanya jika B ϵ C.

Contoh lain:

Fungsi f : R→R ditentukan dengan f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 2x. Tentukan (g o f) dan (f o g)!

Jawab:

(g o f) = g(f(x)) = g(3x + 2) = 2(3x + 2) = 6x + 4

(f o g) = f(g(x)) = f(2x) = 3(2x) + 2 = 6x + 2

2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi 

Misalkan ditentukan aturan fungsi f, fungsi g dan fungsi h dari R→R.

a.    Operasi komposisi pada fungsi umumnya tidak komutatif artinya (f o g) ≠ (g o f).

b.    Pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu (f o g) o h = f o (g o h).

c.    Missal I adalah fungsi I(x) = x dan memenuhi f o I = I o f = f maka I adalah fungsi identitas.

Sumber : Modul Matematika :  Komposisi Fungsi dan Inver Fungsi Invers, Fitri Suci Maharsih.

Agar semakin paham silakan simak video di bawah ini :

kemudian simak juga video lanjutannya di bawah ini :