Mari Belajar Invers Fungsi

                     

1.      Pengertian Invers Fungsi

Telah kita fungsi dan penggunaannya. Suatu fungsi atau pemetaan pasti melibatkan dua himpunan. Misalkan f suatu fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B sehingga setiap elemen a ϵ A mempunyai peta f (a) = b di B.

Apabila pemetaan dibalik, dapatkah ditentukan fungsi g yang memetakan B ke A sehingga diperoleh peta?

Untuk mengetahuinya, sebelumnya simaklah contoh dalam kehidupan sehari–hari berikut ini.

Keluarga Pak Rahmat memiliki dua anak yang bernama Ani dan Bela. Bila Ana adalah anak pertama dan Bela adalah anak kedua, maka hubungan kekerabatan antara keduanya dapat dikatakan:

Ani Kakak Bela

Apabila hubungan kekerabatan di atas dibalik, apakah mempunyai makna yang sama? Tentu saja hubungan tersebut dapat dikatakan:

Bela Adik Ana

Kedua hubungan kekerabatan tersebut dapat dinyatakan dalam diagram panah, yaitu:

Hubungan kebalikan tersebut dinamakan invers. Dari hubungan yang telah dijelaskan di atas, dapat digunakan untuk menentukan invers suatu fungsi. Perhatikan diagram berikut:

Jika fungsi f: A → B maka inversnya adalah g: B → A.

 

Pada gambar di atas fungsi f dan g dikatakan saling invers. Invers fungsi f berlambang f ^-1 (dibaca f invers) dan invers fungsi g berlambang g ^-1 (dibaca g invers). Jadi, g = f ^-1  dan f = g ^-1.

Invers suatu fungsi dapat berupa fungsi (disebut fungsi invers) atau hanya berupa relasi biasa.

Definisi

Suatu fungsi f: A → B mempunyai fungsi invers f ^-1: B → A jika f merupakan fungsi bijektif atau himpunan A dan B berkorespondensi satu-satu.

Contoh:

Diketahui himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}.

Fungsi f : A → B ditentukan dengan pasangan berurutan f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)}

a. Tentukan invers f adalah f ^–1 yang dinyatakan dalam pasangan berurutan.

b. Tunjukkan f dan g dengan diagram panah, kemudian selidiki apakah invers f yaitu g merupakan fungsi?

Jawab:

a. Invers f adalah yang dinyatakan dengan pasangan berurutan, yaitu g = {(1, a), (2, b), (2, c)}

b. Diagram panah f dan g adalah:

Dari diagram di atas, terlihat bahwa f : A → B adalah fungsi. Sedangkan, invers fungsi f,

yaitu g : B → A adalah bukan fungsi karena pada himpunan B terdapat anggota yang mempunyai kawan lebih dari satu di himpunan A.

2.      Menentukan Invers Fungsi

Suatu fungsi f yang memetakan x ke y dinyatakan dengan f : x→y atau ditulis y: f (x). Invers fungsi f tersebut yang memetakan y ke x dinyatakan dengan f ^–1: y → x atau ditulis x = f ^–1 (y). Maka dapat dinyatakan bahwa:

Invers dari fungsi y = f (x) adalah x = f ^–1 (y)

 

Bagaimanakah cara menentukan fungsi invers? Untuk mengetahuinya coba Anda pelajari contoh berikut ini.

Contoh 1:

a.       Diketahui fungsi f : R→R ditentukan oleh f (x) = 2x + 5.

Tentukan rumus fungsi inversnya!

Jawab:

f (x) = y

2x + 5 = y

2x = y – 5

x = (y – 5)/2

f ^–1 (y) = (y – 5)/2

f ^–1 (x) =(x – 5)/2

Jadi, fungsi inversnya adalah f ^–1 (x) = (x – 5)/2

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan mengenai langkah– langkah menentukan fungsi invers, yaitu:

Catatan

Menentukan fungsi invers:

·       · Ubah persamaan y = f(x) ke dalam bentuk x = f(y).

·       ·  Gantikan x dengan f ^–1 (y) sehingga f ^–1 (y) = f(y).

·  Gantikan y dnegan x sehingga diperolah rumus fungsi invers f ^–1 (x).

· Jika f(x) = (ax + b) / (cx + d), x ≠ – d/c

   maka f-1(x) = (– dx + b) / (cx – a), x ≠ a/c

Langkah–langkah menentukan fungsi invers:

a. Misalkan y = f (x), kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y)

b. Gantilah x sebagai f ^–1 (y) sehingga f ^–1 (y) = g(y)

c. Ubahlah huruf y dengan huruf x sehingga diperoleh fungsi

Sumber : Modul Matematika :  Komposisi Fungsi dan Inver Fungsi Invers, Fitri Suci Maharsih.

Silakan simak video menentukan invers fungsi di bawah ini :

mohon simak video berikutnya :